Métodos SDIRK para ecuaciones de Navier-Stokes incompresibles

Abstract

Las ecuaciones de Navier-Stokes son unas ecuaciones en derivadas parciales muy importantes tanto en la f´ısica como en las matem´aticas, pues permiten describir el movimiento para cualquier fluido en el plano y el espacio. Sin embargo, hoy en d´ıa se sigue sin poder demostrar o refutar que exista una ´unica soluci´on definida en el espacio para todo tiempo, por lo que sigue siendo un problema abierto de gran inter´es. En este trabajo vamos a deducir dichas ecuaciones partiendo de tres principios fundamentales de la mec´anica de fluidos: la ley de la conservaci´on de la masa, la segunda ley de Newton (conservaci´on del momento lineal) y la ley de la conservaci´on de la energ´ıa. Seguidamente procederemos a introducir los m´etodos num´ericos de tipo Runge-Kutta para ecuaciones diferenciales ordinarias, estudiando su consistencia, estabilidad y convergencia. Esto ser´a necesario pues finalizaremos implementando lo que se conoce como m´etodos de proyecci´on, concretamente el m´etodo de Chorin, considerando m´etodos de tipo Runge-Kutta simplemente diagonalmente impl´ıcitos (SDIRK). Dichos m´etodos num´ericos nos permitir´an aproximar la soluci´on de las ecuaciones de Navier-Stokes para fluidos incompresibles. Por ´ultimo, se ilustrar´an varios ejemplos de la implementaci´on del m´etodo de Chorin, la cual se ha realizado con la ayuda de Python y el software FEniCS.

The Navier-Stokes partial differential equations are very important both in physics and mathematics, as they allow us to describe motion for any fluid in the plane or space. However, today it is still not possible to prove or refute that exists a global solution defined in space for all time, so it remains an open problem of great interest. In this work we are going to deduce these equations starting from three fundamental principles of fluid mechanics: conservation of mass, Newton’s second law (balance of momentum) and conservation of energy. Then we will proceed to introduce the Runge-Kutta numerical methods for ordinary differential equations, studying their consistency, stability and convergence. This will be necessary because we will end up implementing what is known as projection methods, specifically the Chorin method, considering simply diagonally implicit Runge-Kutta methods (SDIRK). These numerical methods will allow us to approximate the solution of the Navier-Stokes equations for incompressible fluids. Finally, several examples of the Chorin’s method implementation will be illustrated, which has been carried out with the help of Python and the FEniCS software.