Fractal analysis of large-scale structures
Author
Marrero De La Rosa, CarlosDate
2021Abstract
Con el avance de los tiempos se han ido definiendo estructuras o formas que ayudaran al ser
humano a comprender mejor su entorno, a aproximarlo de alguna manera a su entendimiento.
Es durante los siglos XIX-XX que aparece una nueva forma, lo que se pasar´ıa a llamar un fractal,
un objeto matem´atico cuya aparente irregularidad se repite a diferentes escalas. Un objeto que
no sigue la geometr´ıa de Euclides. Un objeto que, a pesar de estas curiosas caracter´ısticas, se
puede vislumbrar en las costas, en las hojas de helecho o en la espuma cu´antica. Hausdorff
plante´o una de las primeras definiciones de dimensi´on que se podr´ıa aplicar a un fractal, abriendo
la puerta al c´alculo de la dimensi´on fractal, que ser´a la piedra angular de este trabajo. Se puede
entender de muchas formas, pero la que mejor se adapta al inter´es de este trabajo es que la
dimensi´on fractal proporciona una idea de lo irregular que es una distribuci´on. De c´omo se
distribuyen los puntos que componen una estructura. Esto indica que puede dar informaci´on
sobre el agrupamiento de una distribuci´on.
En este trabajo se medir´a la dimensi´on fractal de las estructuras a gran escala del universo, a
fin de comprobar si siguen una distribuci´on homog´enea. Para ello se emplear´an datos provistos
por el conjunto de datos de grupos de galaxias BOSS (Baryon Oscillation Spectroscopic Survey)
que forma parte del SDSS (Sloan Digital Sky Survey). En concreto, se trabajar´a con los datos
conjuntos de los dos algoritmos de selecci´on de BOSS, para el casquete gal´actico norte: LOWZ,
que selecciona objetos hasta un redshift tal que z ≈ 0.4 y CMASS, que selecciona objetos en
un rango de 0.4 < z < 0.7. Este conjunto de ambos se denomina CMASSLOWZTOT North, y
proporciona datos de unos 953255 objetos.
El objetivo principal ser´a estudiar c´omo var´ıa la dimensi´on fractal de estas estructuras a gran
escala con la distancia com´ovil, y analizar si los resultados coinciden con aquellos indicados
en la literatura. Para lograr este objetivo se medir´a la dimensi´on fractal a trav´es de varios
m´etodos: algoritmos de box-counting, la funci´on de correlaci´on de dos puntos y la transformada
de Hankel del espectro de potencias.
En primer lugar, para realizar los an´alisis con los programas de box-counting, ser´a necesario
tener un mapa de la distribuci´on de los objetos en el cielo. Para ello se emplear´a la muestra
proporcionada por SDSS y, con el lenguaje de programaci´on Python, se dibujar´a este mapa de
distribuci´on. Los primeros m´etodos de box-counting que se emplear´an dividir´an este mapa en
peque˜nas cajas bidimensionales, donde solo se tendr´an en cuenta para el tratamiento aquellas
que tengan,al menos, un objeto en su interior. En uno de los m´etodos, las cajas no se
superpondr´an, sino que ser´an adyacentes unas con otras (m´etodo est´andar), y en el otro, las
muestras se superpondr´an entre s´ı (m´etodo gliding ; deslizante). Por otra parte, para el tercer
m´etodo de box-counting, se tendr´a en cuenta una tercera componente, ya que dividir´a el set de
datos en cubos. La tercera componente se dar´a poniendo el mapa de distribuci´on en escala de
grises, donde la escala de grises corresponder´a a la distancia com´ovil. De esta manera se tendr´a
una medici´on de la dimensi´on fractal a trav´es de tres m´etodos de box-counting.
Continuando con los algoritmos de box-counting, se realizar´a una medici´on del m´etodo est´andar
y del m´etodo de escala de grises formando el mapa del cielo con Healpix, que reproducir´a el cielo
en una superficie esf´erica dividida en p´ıxeles de ´areas iguales, permitiendo asi una representaci´on
m´as realista del cielo al seguir su geometr´ıa.
El siguiente paso corresponder´a a emplear la funci´on de correlaci´on de dos puntos para realizar
el c´alculo de la dimensi´on fractal. Se utilizar´a para calcular la funci´on de estructura, g(r) =
1 + ξ(r), su gradiente log-log (la funci´on de gradiente), γ(r) = dlog g(r)/dlog r, y la funci´on de dimensi´on fractal, D(r) = 3 + γ(r). En este caso, la funci´on de correlaci´on de dos puntos
se obtendr´a midi´endola directamente, utilizando conteo de pares. Se emplear´a para este fin el
estimador de Landy & Szalay. Una vez hecho esto, se proceder´a al c´alculo de la funci´on de
correlaci´on de dos puntos v´ıa transformada de Hankel del espectro de potencias, y se seguir´a el
mismo procedimiento anterior, es decir, calcular la funci´on de estructura, su gradiente log-log,
etc.
Una vez realizadas todas las mediciones para cada uno de los m´etodos, se encontrar´an los
resultados mostrados en la Tabla 0.
M´etodos SBC GBC GSBC HSBC HGSBC CF PS
Dimensi´on
Fractal
Media
1.01 ± 0.08 1.12 ±0.08 2.42 ± 0.11 1.78 ± 0.04 1.40 ± 0.11 2.25± 0.03 2.22 ± 0.05
Tabla 0: Resultados obtenidos para la dimensi´on fractal media en un intervalo de 300 a 2400 [M pc h−1
], para
cada uno de los m´etodos. El error se ha estimado como la desviaci´on est´andar de las medidas. Adem´as, las
siglas se refieren a: SBC- box-counting est´andar, GBC- box-counting deslizante, GSBC-box-counting en escala
de grises, HSBC- box-counting est´andar con Healpix, BGSBC- box-counting en escala de grises con Healpix,
CF - funci´on de correlaci´on, PS- espectro de potencias
Encontr´andose que, para todos los m´etodos, se obtiene un car´acter homog´eneo de la dimensi´on
fractal, aunque no se puede asegurar un ´unico valor, ya que difieren para cada m´etodo. Adem´as,
en la literatura se encuentra que en estas escalas D ≈ 3, luego el m´etodo que m´as se acerca
ser´ıa el que emplea escala de grises, aunque a´un estar´ıa lejos de esa cifra.
Se concluir´a que se prueba la homogeneidad de las estructruras a gran escala en los intervalos
analizados, aunque no con el mismo valor de la dimensi´on fractal dado por la literatura. A
su vez, se propondr´a un estudio m´as detallado para poder localizar la franja en la que se pasa
de un universo no homog´eneo a uno homog´eneo y, tambi´en, se propondr´a ahondar m´as en las
relaciones entre la geometr´ıa fractal y la cosmolog´ıa siguiendo los pasos de diversos estudios.
As´ı como tambi´en se propondr´a aumentar la escala en la que se han analizado los datos con el
fin de tratar de obtener un resultado m´as acorde con el mostrado en la literatura.