Posición relativa de los puntos críticos de un polinomio

Abstract

Las ra´ıces de un polinomio en una variable y con coeficientes complejos se pueden representar geom´etricamente en el plano real. De esta manera, podemos estudiar diferentes propiedades geom´etricas de las ra´ıces de los polinomios, en particular, nos interesar´a especialmente la relaci´on geom´etrica que existe entre las ra´ıces de un polinomio y las de su derivada. En primer lugar, asentaremos los conceptos b´asicos sobre transformaciones afines y elipses, con los que construiremos las pruebas de nuestros resultados principales. A continuaci´on estudiaremos distintas propiedades que relacionan las ra´ıces de un polinomio con las de su derivada. Entre estos resultados destacaremos el Teorema de Gauss-Lucas, el cual establece, dadas las ra´ıces de un polinomio, la regi´on del plano real en la que se encuentran las ra´ıces de su derivada. Estudiaremos adem´as algunas consecuencias de dicho teorema, y en particular el Teorema de Jensen que aplica el mismo a polinomios con coeficientes reales. Tambi´en presentamos la conjetura de Sendov y su prueba en algunos casos particulares. Esta conjetura plantea la posibilidad de un resultado m´as preciso que el Teorema de Gauss-Lucas. Finalmente nos centraremos en el Teorema de Siebeck-Marden, un caso particular del Teorema de Gauss-Lucas para polinomios de tercer grado, que determina precisamente la posici´on geom´etrica de las dos ra´ıces de la derivada del polinomio.

The roots of a polynomial in one variable and with complex coefficients can be represented geometrically in the real plane. In this way, we can study different geometric properties of the roots of polynomials, in particular, we are especially interested in the geometric relationship that exists between the roots of a polynomial and those of its derivative. First, we will establish the basic concepts about affine transformations and ellipses, with which we will construct the proofs of our main results. After doing this we will study different properties that relate the roots of a polynomial with those of its derivative. Among these results we will highlight the Gauss-Lucas Theorem, which establishes, given the roots of a polynomial, the region of the real plane in which the roots of its derivative lie. We will also study some consequences of this theorem; and in particular Jensen’s Theorem that applies the same to polynomials with real coefficients. We also present Sendov’s conjecture and its proof in some particular cases. This conjecture raises the possibility of a more precise result than the Gauss-Lucas Theorem. Finally we will focus on the Siebeck-Marden Theorem, a particular case of the Gauss-Lucas Theorem for polynomials of third degree, which determines precisely the geometric position of the two roots of the derivative of the polynomial.