Trigonometría en p-normas.
Author
Herrera Báez, GuillermoDate
2021Abstract
La circunferencia es una de las primeras formas geom´etricas con las
que nos encontramos. Se trata de un objeto ✭✭perfecto✮✮, y nuestra familiaridad con ella puede hacernos perder de vista su relevancia. Las
funciones seno y coseno surgen de modo natural cuando intentamos
describirla.
En este trabajo nos proponemos desarrollar una trigonometr´ıa
an´aloga para objetos geom´etricos que no son exactamente una circunferencia. Nuestro modelo primario es la p-circunferencia o ✭✭psquircle✮✮, una superelipse definida como el conjunto de los puntos
(x, y) del plano que satisfacen la ecuaci´on |x|
p + |y|
p = 1 para alg´un
n´umero real p ≥ 1. La circunferencia unidad del plano eucl´ıdeo se
obtiene para p = 2, y nuestro estudio generaliza este caso.
De la investigaci´on realizada se deriva una consecuencia importante,
y es que las posibilidades de generalizaci´on son m´ultiples, si bien no
todas ellas retienen las mismas propiedades deseables, por lo que es
necesario elegir la que m´as convenga al uso que se les pretenda dar. The circumference is one of the first geometric shapes that we come
across. It is a ✭✭perfect✮✮ object, and our familiarity with it can make
us lose sight of its relevance. The sine and cosine functions arise
naturally when we try to describe it.
In this work we propose to develop an analogous trigonometry for
geometric objects that are not exactly a circle. Our primary model is
the p-circumference or ✭✭p-squircle✮✮, a superelipse defined as the set
of points (x, y) in the plane that satisfy the equation |x|
p + |y|
p = 1
for some real number p ≥ 1. The unit circumference of the Euclidean
plane is obtained for p = 2, and our study generalizes this case.
An important consequence of the research performed here is that the
possibilities for a generalization are multiple, although not all of them
retain the same desirable properties, so it is necessary to choose the
one that best suits the use intended.