Grupos de homotopía de orden superior

Abstract

Los grupos de homolog´ıa son un invariante algebraico que permite distinguir espacios topol´ogicos. Su estructura est´a generada a partir de ciclos que se pueden definir en cada dimensi´on del espacio. Por otra parte, el grupo fundamental de un espacio proporciona otro invariante a partir de lazos en dimensi´on uno. Parece natural intentar extender este concepto de lazo a dimensiones superiores, y esto es lo que desarrollaron, a partir de 1932, Eduard Cech ˇ y Witold Hurewicz, definiendo los grupos de homotop´ıa de orden superior, y estudiando la relaci´on entre estos y los grupos de homolog´ıa. En esta memoria se pretende mostrar dicha construcci´on y sus principales propiedades, haciendo uso de fibraciones y sucesiones exactas para el estudio de los grupos de homotop´ıa de las esferas.

Homology groups are an algebraic invariant that allows us to distinguish spaces. Its structure is generated from cycles that can be defined in each dimension of the space. On the other hand, the fundamental group of a space provides another invariant from loops in dimension one. It seems natural to try to extend this concept of loop to higher dimensions, and this is what Eduard Cech ˇ and Witold Hurewicz developed, starting in 1932, defining the higher order homotopy groups, and studying the relationship between these and the homology groups. This memory intends to show this construction and its main properties, making use of fibrations and exact sequences for the study of the homotopy groups of the spheres.