Estudio geométrico de la ecuación de Hamilton-Jacobi

Abstract

En esta memoria estudiamos los elementos geom´etricos necesarios para describir geom´etricamente las soluciones parciales de la ecuaci´on de Hamilton-Jacobi de la Mec´anica Cl´asica. Para ello presentamos los espacios vectoriales simpl´ecticos, los cuales son necesarios para definir la noci´on de variedad simpl´ectica. Estudiamos en detalle las propiedades de las formas simpl´ecticas, y a continuaci´on proporcionamos una demostraci´on del teorema de Darboux, que nos garantiza una carta local para la variedad en la cual la forma simpl´ectica admite una expresi´on bastante sencilla. Adem´as, como un objeto geom´etrico esencial, describimos la estructura simpl´ectica can´onica del fibrado cotangente. Finalmente, aplicamos los resultados anteriores para la obtenci´on de soluciones parciales de la ecuaci´on de Hamilton-Jacobi en un sistema Hamiltoniano completamente integrable: una part´ıcula en el plano bajo la acci´on de un campo central.

In this memory we study the necessary geometric objects to understand the Hamilton-Jacobi equation in its geometric formulation. For this purpose, we discuss symplectic vector spaces, which are required to define the notion of a symplectic manifold. We study in detail the properties of symplectic forms, and we provide a proof of Darboux’s theorem, which proves the existence of a local chart for a symplectic manifold in which the simplectic form admits a very simple expression. Moreover, we describe the canonical symplectic structure of the cotangent bundle. Finally, all the previous results are applied to obtain partial solutions of the Hamilton-Jacobi equations associated with an example of a completly integrable system: a particle in the plane under the action of a central potential.