Introducción a las Ecuaciones Diferenciales Estocásticas y métodos numéricos

Abstract

En la presente memoria se pretende estudiar las ecuaciones diferenciales estoc´asticas. Inicialmente daremos una peque˜na introducci´on a la teor´ıa de probabilidad que es necesaria para su desarrollo. Seguidamente, defininiremos el concepto de proceso de Wiener junto con sus propiedades. El objetivo ser´a construir un proceso de Wiener que nos servir´a para modelar componentes aleatorias en tales ecuaciones diferenciales. A continuaci´on presentamos la definici´on y propiedades de la integral estoc´astica de Itˆo para posteriormente introducir la noci´on de soluci´on de una ecuaci´on diferencial estoc´astica, estableciendo la existencia y unicidad de dicha soluci´on. Finalmente, veremos algunos ejemplos y aplicaciones de m´etodos num´ericos tales como los m´etodo de Euler-Maruyama y Milsten.

In the present manuscript, we study stochastic differential equations. Initially, we will give a short introduction to the probability theory that is necessary for the development of these equations. Next, we will introduce the concept of Wiener process together with its properties. The objective will be to build a Wiener process that will allow us to model random components for such differential equations. Next, we will present the definition and properties of the Itˆo stochastic integral which will lead us to the concept of solution of a stochastic diffential equation, stablishing the existence and uniqueness of such solution. Finally, we will see some examples and applications of numerical methods such as the Euler-Maruyama and the Milsten methods.