Geometría de superficies minimales

Abstract

En este trabajo se hace una introducci´on a las superficies de curvatura media nula, las superficies minimales. Estas se encuentran en la naturaleza en forma de pel´ıculas jabonosas optimizando el ´area seg´un el principio de m´ınima acci´on de la Mec´anica Lagrangiana. Partiendo de la justificaci´on del comportamiento de estas pel´ıculas, definiremos las superficies minimales y mostraremos algunas caracterizaciones locales de car´acter anal´ıtico usando la ecuaci´on de Euler-Lagrange o la noci´on de funci´on arm´onica. Veremos adem´as que toda superficie de ´area m´ınima con borde prefijado es minimal y que el rec´ıproco no es cierto en general. El trabajo finaliza con el estudio de los ejemplos m´as notables de superficies minimales, dibuj´andolas y calculando algunos par´ametros como su curvatura media, su curvatura de Gauss y el ´area. Para ello utilizaremos el software matem´atico Sagemath.

In this dissertation we will give an introduction to null mean curvature surfaces, which are well-known as minimal surfaces. These surfaces can be found in the nature like soap films due to their ability to minimize areas following the minimum action principle of the Lagrangian Mechanics. On the basis of the behaviour of soap films, we will define minimal surfaces, showing some local and analytic characterizations using the Euler-Lagrange equation or harmonic functions. Furthermore, we will show that every area-minimizing surface with fixed bound is a minimal surface althought the converse is not true, in general. In the last chapter, we show the most relevant minimal surfaces examples, drawing them and calculating several parameters with the mathematical software Sagemath. For example, their mean curvature, their Gauss curvature and areas.