Complejidad Topológica
Author
Pineda Ramos, José FabrizioDate
2022Abstract
El problema del planificador de movimientos de un sistema mec´anico consiste
en encontrar un algoritmo que tenga como input un par ordenado de estados
del sistema, denominados estado inicial y estado final, y como output
un movimiento continuo que comience en el estado inicial y que acabe
en el estado final. Para modelizar topol´ogicamente este problema se hace
uso del espacio de configuraciones asociado al sistema mec´anico. Michael
Farber demuestra en 2003 que dar tal algoritmo de forma global y que sea
razonablemente robusto solo es posible en espacios de configuraciones muy
simples. De este modo, propone considerar un n´umero finito de algoritmos
continuos de forma local, originando la denominada complejidad topol´ogica.
Partiendo de la motivaci´on inicial del problema del planificador de movimientos, en este trabajo introduciremos la noci´on de complejidad topol´ogica de un
espacio topol´ogico general. Estudiaremos sus principales caracter´ısticas y propiedades, as´ı como su relaci´on con la categor´ıa de Lusternik-Schnirelmann.
Adem´as, haremos uso de t´ecnicas de topolog´ıa algebraica que nos permitir´an
aproximar o, en algunos casos, determinar la complejidad topol´ogica de muchos espacios. Finalmente, emplearemos los resultados desarrollados a lo largo
de la memoria para estudiar la complejidad topol´ogica de una amplia variedad
de ejemplos.
Palabras clave: Complejidad topol´ogica, planificaci´on de movimientos, espacio de configuraciones, fibraci´on, producto cup, algoritmo local, categor´ıa
de Lusternik-Schnirelmann, nilpotencia. The motion planning problem on a mechanic system consists in finding an
algorithm which takes, as input, an ordered pair of states of the system called
initial state and final state; and, as output, a continuous movement which
starts at the initial state and ends at the final state. Spaces of configurations
are used in order to modelize topologically this problem on a mechanic system.
Michael Farber proofs in 2003 that establishing such algorithm globally and
robustly is possible only in a rather simple type of spaces. At a time, Farber
proposes to assign paths locally by descomposing the topological space in a
finite number of open sets. This number is called topological complexity.
Starting from the initial cause of motion planning problem, in this dissertation we will introduce the notion of topological complexity of a general topological space. We will study its main features and properties as well as its
relationship with the Lusternik-Schnirelmann category. Moreover, we will use
algebraic topology techniques that will allow us to estimate or, in certain cases, to determine the topological complexity of a several number of spaces.
To conclude, the results developed in this dissertation will come into play to
discuss a wide class of examples.
Keywords: Topological complexity, motion planning, configuration spaces,
fibration, cup product, local algorithm, Lusternik-Schnirelmann category, nilpotency